Ho cominciato a scrivere queste note per il corso di Algebra Superiore (primo modulo) nell'Anno Accademico 1997/98. Avevo appena finito di insegnare per la prima volta il corso di Matematica Generale agli studenti di Economia. Pensavo di insegnarlo di nuovo l'anno successivo, e avevo in mente di scrivere degli appunti del corso in tale occasione, man mano che lo tenevo.
Ero ben conscio che scrivere gli appunti di un corso è un (sur)lavoro non da poco. Per verificare se sarei stato in grado di reggere il ritmo, ho deciso di fare una prova con il corso di Algebra Superiore, che tutto sommato è più leggero. Sarebbe stata un'ottima occasione per scrivere giù l'approccio appena un po personalizzato alla Teoria di Galois a cui mi ero affezionato nel corso degli anni.
La mia idea era di scrivere non un libro, ma qualcosa di molto vicino a quello che dicevo e scrivevo sulla lavagna a lezione. Libri sulla teoria di Galois ce ne sono già tanti, e tanti molto buoni, Volevo invece conservare l'aspetto relativamente discorsivo, e l'approccio didattico di una lezione in presa diretta.
Il risultato è stato per me abbastanza soddisfacente, e fra l'altro mi ha convinto a scrivere l'anno dopo le note per Matematica Generale.
Nell'A.A. 1998/99 ho tenuto ancora il corso di Algebra Superiore (primo modulo), e cosí ho rimesso mano alle note. Mi era ben presente il rischio di perdere lo spirito iniziale, e di finire, ``in seconda lettura'', per scrivere un libro, che sarebbe stato verosimilmente inutile.
Credo che il risultato sia stato invece non del tutto inutile, almeno per i miei studenti. Per esempio, in alcune parti (estensioni radicali) tratto dapprima la teoria in una versione semplificata, per esempio supponendo di avere a disposizione le radici dell'unità che mi servono, quando mi servono. Nelle note ho poi aggiunto anche la trattazione del caso generale, anche se non l'ho fatta a lezione - una studentessa interessata può farvi riferimento. In altri casi nelle note si trovano dimostrazioni che ho omesso a lezione - anche qui questo può essere utile per gli studenti.
Dopo due volte che ci lavoro, queste note sono in uno stato ragionevolmente ``finito'', tranne quelle sulle estensioni di grado infinito, dove c'è ancora molto da fare. Mancherebbero i dettagli di alcuni esempi, quali il calcolo di gruppi di Galois. Ma questi esempi possono essere fatti in vari modi, a seconda di quanta teoria si è fatta, e l'unica soluzione che mi soddisferebbe sarebbe pertanto di continuare a rivederli man mano che si accumulano le conoscenze. Questo sarebbe troppo dispendioso, e forse indurrebbe un po' di pigrizia negli studenti, e toglierebbe loro la soddisfazione di trovare la propria strada. E' sorprendente quanti approcci diversi continuano ad arrivarmi per alcuni degli esercizi!
Una versione aggiornata di queste note è disponibile attraverso la pagina Web
Il corso vuole essere una presentazione relativamente standard della Teoria di Galois, sostanzialmente basata su [Kap95], anche se anticipo il legame fra estensioni normali e campi di spezzamento. Questo perché il primo corso di Algebra termina in genere con la dimostrazione dell'esistenza del campo di spezzamento (e l'applicazione ai campi finiti); è quindi naturale riprendere il discorso parlando dell'unicità del campo di spezzamento, e a questo punto non costa molto contare gli automorfismi che si ottengono.
La teoria di Galois associa a una estensione di campi un gruppo finito, e permette di tradurre proprietà delle estensioni in proprietà dei gruppi corrispondenti, e viceversa.
Tempo permettendo si vorrebbe arrivare a trattare i seguenti argomenti.
Come è noto già dall'antichità, l'equazione di secondo grado
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Qui la cosa interessante è che queste estensioni si comprendono se si da ai gruppi associati la struttura di gruppi topologici.
In realtà ci sono diversi studenti del corso dell'A.A. 1998/99 che
non hanno studiato topologia, e che quindi non potrebbero fruire come
si deve questa parte del corso. Per cambiare, avrei voluto fare la
dimostrazione della trascendenza di 
e 
, ma è troppo
complicata per questo corso. Mi limiterò alla dimostrazione di
Cantor dell'esistenza di numeri trascendenti, e alla
costruzione esplicita di Liouville di alcuni numeri
trascendenti. Una delle mie fonti è [CR71], che dopo tanti
anni rimane sempre un magnifico libro di matematica.
Ringrazio Pino Vigna Suria per aver letto questa parte delle note, ed avere suggerito diverse correzioni e miglioramenti.
Il filo conduttore della parte di Teoria di Galois è tendenzialmente quello di [Kap95]. Qualche argomento è tratto da [Jac85]; a volte, quando qualche argomento su quest'ultimo testo non è chiaro, può essere illuminante andare a vedere [vdW71] (o [vdW91]), che si basa in parte sulle lezioni originali di E. Artin e E. Noether. Per la parte dei gruppi topologici si segue [Hig74], mentre per le estensioni di grado infinito si utilizzano argomenti di [Lan84].