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Richiami

In questo capitolo diamo alcuni brevi cenni agli argomenti del primo corso di Algebra che ci sono utili in questo corso. Se necessario, è bene consultare un testo, ad esempio [Jac85] o [Lan84].

Sia $ E$ un campo, e $ F$ un suo sottoanello che sia a sua volta un campo. Allora si dice che $ E$ è una estensione di $ F$, ovvero che $ E / F$ è una estensione (di campi). Nonostante il simbolo, non c'è nessun quoziente! (Ricordate che un campo non ha altri ideali che lo $ \left\{\, 0 \,\right\}$ e sé stesso.)

Se $ E / F$ è una estensione, e $ \alpha \in E$, si può considerare il più piccolo sottoanello $ F [\alpha]$ di $ E$ che contenga $ F$ e $ \alpha$. Si può vedere che esiste per ragioni generali, ma è facile vedere che esso ha la forma

\begin{multline*} F [ \alpha ] =\\ = \left\{\, a_{0} + a_{1} \alpha + \d... ...\right\} =\\ = \left\{\, f(\alpha) : f(x) \in F[x] \,\right\}. \end{multline*}

In altre parole, $ F [\alpha]$ è l'immagine del morfismo valutazione in $ \alpha$:

$\displaystyle \varphi _{\alpha} : \ $ $\displaystyle F[x] \to E$    
  $\displaystyle f(x) \mapsto f(\alpha).$    

Dunque $ \ker(\varphi _{\alpha}) = \left\{\, f(x) \in F[x] : f(\alpha) = 0 \,\right\}$ è l'insieme di tutti i polinomi che si annullano su $ \alpha$. Se $ \ker(\varphi _{\alpha}) = \left\{\, 0 \,\right\}$, ovvero l'unico polinomio in $ F[x]$ che si annulla su $ \alpha$ è il polinomio nullo, allora si dice che $ \alpha$ è trascendente su $ F$, e si ha $ F[x] \cong F[\alpha]$. Se invece $ \ker(\varphi _{\alpha}) \ne \left\{\, 0 \,\right\}$, ed esiste quindi almeno un polinomio non nullo in $ F[x]$ che ha $ \alpha$ per radice, si dice che $ \alpha$ è algebrico su $ F$. E' noto che gli ideali di $ F[x]$ sono principali, per cui si può scrivere $ \ker(\varphi _{\alpha}) = (m)$, ove $ m$ è il polinomio minimo di $ \alpha$ su $ F$, che è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
  1. $ m( \alpha ) = 0$;
  2. $ m$ è monico;
  3. $ m$ ha grado minimo fra tutti i polinomi non nulli che si annullano su $ \alpha$

Esercizio 1   Sia $ E / F$ una estensione di campi, $ \alpha \in E$ un elemento, e $ 0 \ne f \in F[x]$ un polinomio monico (dunque non nullo) tale che $ f(\alpha) = 0$.

Si mostri che sono equivalenti le due affermazioni:

  1. $ f$ è il polinomio minimo di $ \alpha$ su $ F$, e
  2. $ f$ è irriducibile in $ F[x]$.

Da questo segue che se $ \alpha$ è algebrico su $ F$, allora $ F [\alpha]$ è un campo, e coincide quindi con il più piccolo sottocampo $ F(\alpha)$ di $ E$ che contenga $ F$ ed $ \alpha$. Infatti, sia $ 0 \ne f(\alpha) \in F[\alpha]$. Dunque $ f \not\in ( m )$, e quindi $ f$ e $ m$ sono primi fra loro, dato che $ m$ è irriducibile. ne segue che esistono $ h, k \in F[x]$, che si possono trovare con l'algoritmo di Euclide, tali che

$\displaystyle 1 = f(x) h(x) + m(x) k(x).$    

Sostituendo $ \alpha$ al posto di $ x$, e tenendo conto che $ m( \alpha ) = 0$, si ottiene

$\displaystyle 1 = f(\alpha) h(\alpha),$    

e dunque $ h(\alpha) \in F[\alpha]$ è l'inverso di $ f(\alpha)$.

Esercizio 2   Siano $ K \subseteq F \subseteq E$ campi, e $ \alpha \in E$. Si mostri che se $ \alpha$ è algebrico su $ K$, allora lo è anche su $ F$, e il polinomio minimo di $ \alpha$ su $ F$ è un divisore del polinomio minimo di $ \alpha$ su $ K$, e un multiplo di $ x - \alpha$. Notate che $ x - \alpha$ è il polinomio minimo di $ \alpha$ su $ E$.

Se $ E / F$ è una estensione, allora si può vedere $ E$ come uno spazio vettoriale su $ F$. La dimensione $ \dim_{F}(E)$ si dice grado di $ E$ su $ F$, e si indica con il simbolo $ \lvert E : F \rvert $. Il nome è giustificato dal fatto che se $ \alpha$ è algebrico su $ F$ di grado $ n$, ovvero il suo polinomio minimo su $ F$ ha grado $ n$, allora si ha

$\displaystyle n = \lvert F [\alpha] : F \rvert = \dim_{F} ( F[\alpha] ),$    

una base di $ F [\alpha]$ su $ F$ essendo formata da $ 1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$.

Se una estensione $ E / F$ ha grado finito, allora ogni elemento di $ E$ è algebrico su $ F$. Il viceversa non vale, come suggerito dall''esercizio 3. Ricordiamo a questo proposito la formula dei gradi, che dice in sostanza che se $ K \subseteq F \subseteq E$ sono campi, e il grado $ \lvert E : K \rvert $ è finito, allora

$\displaystyle \lvert E : K \rvert = \lvert E : F \rvert \cdot \lvert F : K \rvert .$    

Utilizzando questa forlula, si vede che la somma e il prodotto di due numeri algebrici è algebrico, e lo stesso vale per l'inverso di un numero algebrico non nullo.

Esercizio 3   Si consideri l'insieme

$\displaystyle A = \left\{\, \alpha \in \mathbf{C}: \text{$\alpha$\ \\lq e algebrico su $\mathbf{Q}$} \,\right\}.$    

Si mostri che $ A$ è un sottocampo di $ \mathbf{C}$, e che il grado $ \lvert A : \mathbf{Q} \rvert $ non è finito. (Suggerimento: Si considerino gli elementi $ \alpha_{n} = \sqrt[n]{2}$. Qual è il grado di $ \alpha_{n}$ su $ \mathbf{Q}$?)

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A. Caranti
2000-05-31