next up previous contents
Next: Teoria di Galois delle Up: Le lezioni Previous: Casus Irreducibilis   Indice

L'equazione di quarto grado (da sistemare)

Supponiamo di avere un polinomio monico e irriducibile di quarto grado sul campo $ F$. Come al solito supporremo $ F$ di caratteristica zero, o almeno diversa da $ 2$ e da $ 3$.

Con un semplice trucco, ci si può ridurre al caso di una equazione di terzo grado, detta cubica risolvente.

Se $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ sono le quattro radici distinte di $ f$ nel suo campo di spezzamento $ E$, consideriamo gli elementi

$\displaystyle \beta_{1} = \alpha_{1} \alpha_{2} + \alpha_{3} \alpha_{4}, \quad ... ...2} \alpha_{4}, \quad \beta_{3} = \alpha_{1} \alpha_{4} + \alpha_{2} \alpha_{3}.$ (10. 0.1)

Consideriamo il polinomio di terzo grado

$\displaystyle g(x) = (x - \beta_{1}) (x - \beta_{2}) (x - \beta_{3}).$    

Dato che il gruppo di Galois $ \Gal(E/F)$ non fa altro che permutare fra loro i $ \beta_{i}$, abbiamo $ g \in F[x]$. Un calcolo esplicito mostra che se

$\displaystyle f(x) = x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e,$    

allora

$\displaystyle g(x) = x^{3} - c x^{2} + (b d - 4 e) x - b^{2} e + 4 c e - d^{2}.$    

Vediamo i dettagli. E' chiaro che la somma dei $ \beta_{i}$ è proprio $ c$.

Per il prodotto, si ha

$\displaystyle \beta_{1} \cdot \beta_{2} \cdot \beta_{3}$ $\displaystyle = (\alpha_{1} \alpha_{2} + \alpha_{3} \alpha_{4}) \cdot (\alpha_{... ... + \alpha_{2} \alpha_{4}) \cdot (\alpha_{1} \alpha_{4} + \alpha_{2} \alpha_{3})$    
  $\displaystyle = (\alpha_{1}^{2} + \alpha_{2}^{2} + \alpha_{3}^{2} + \alpha_{4}^{2}) \cdot \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} \alpha_{4}$    
  $\displaystyle \phantom{=\ } + \alpha_{1}^{2} \alpha_{2}^{2} \alpha_{3}^{2} + \a... ...} \alpha_{3}^{2} \alpha_{4}^{2} + \alpha_{2}^{2} \alpha_{3}^{2} \alpha_{4}^{2}.$    

Ora

$\displaystyle (\alpha_{1}^{2} + \alpha_{2}^{2} + \alpha_{3}^{2} + \alpha_{4}^{2}) \cdot \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} \alpha_{4} = (b^{2} - 2 c) e.$    

Inoltre

$\displaystyle d^{2} = \alpha_{1}^{2} \alpha_{2}^{2} \alpha_{3}^{2} + \alpha_{1}... ..._{3}^{2} \alpha_{4}^{2} + \alpha_{2}^{2} \alpha_{3}^{2} \alpha_{4}^{2} + 2 c e.$    

Infine

$\displaystyle \beta_{1} \beta_{2} + \beta_{1} \beta_{3} + \beta_{2} \beta_{3}$ $\displaystyle = \alpha_{1} \cdot (\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} + \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{4} + \alpha_{1} \alpha_{3} \alpha_{4})$    
  $\displaystyle \phantom{=\ }+$   termini simili per gli altri $ \alpha_{i}$    
  $\displaystyle = \alpha_{1} \cdot (-d + \alpha_{2} \alpha_{3} \alpha_{4})$    
  $\displaystyle \phantom{=\ }+$   termini simili per gli altri $ \alpha_{i}$    
  $\displaystyle = b d - 4 e .$    

Dunque per risolvere $ f$ è sufficiente prima trovare le soluzioni $ \beta_{i}$ di $ g(x) = 0$ con le formule di Cardano, e poi usare (10.0.1) per ricostruire gli $ \alpha_{i}$. Quest'ultimo passaggio si può fare cosí. Si comincia con l'eliminare $ \alpha_{4}$:

$\displaystyle \beta_{1}$ $\displaystyle = \alpha_{1} \alpha_{2} + \alpha_{3} \alpha_{4}$    
  $\displaystyle = \alpha_{1} \alpha_{2} + \alpha_{3} (b - \alpha_{1} - \alpha_{2} - \alpha_{3})$    
  $\displaystyle = \alpha_{1} \alpha_{2} + b \alpha_{3} - \alpha_{1} \alpha_{3} - \alpha_{2} \alpha_{3} - \alpha_{3}^{2} ,$    
$\displaystyle \beta_{2}$ $\displaystyle = \alpha_{1} \alpha_{3} + \alpha_{2} \alpha_{4}$    
  $\displaystyle = \alpha_{1} \alpha_{3} + \alpha_{2} (b - \alpha_{1} - \alpha_{2} - \alpha_{3})$    
  $\displaystyle = \alpha_{1} \alpha_{3} + b \alpha_{2} - \alpha_{1} \alpha_{2} - \alpha_{2}^{2} - \alpha_{2} \alpha_{3} .$    

Ora

$\displaystyle \beta_{1} + \beta_{2} = b (\alpha_{2} + \alpha_{3}) - (\alpha_{2} + \alpha_{3})^{2}.$    

Quindi otteniamo

$\displaystyle \alpha_{2} + \alpha_{3} = \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (\beta_{1} + \beta_{2}) }}{2}.$    

Con procedure simili si ottengono formule per tutte le somme $ \alpha_{i} + \alpha_{i}$, con $ i \ne j$. Per semplificare, supponiamo di aver ridotto l'equazione di quarto grado col solito sistema in modo che sia $ b = 0$. Abbiamo allora

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix}\alpha_{1} &+& \alpha_{2} && && &=& \sqrt{-... ...+& && \alpha_{4} &=& - \sqrt{- (\beta_{1} + \beta_{3})}\\ \end{matrix} \right.$ (10. 0.2)

Come per l'equazione di terzo grado, bisogna scegliere le radici quadrate ``positive'' in modo da rispettare

\begin{multline*} \sqrt{- (\beta_{2} + \beta_{3})} \cdot \sqrt{- (\beta_{1} +... ...ta_{3} ) } =\\ = \sqrt{c \cdot (4 e) - 4 c e + d^{2}} = d. \end{multline*}

Ora la somma delle quattro radici $ \alpha_{i}$ è zero, per cui per risolvere (10.0.2) basta sommare per ogni $ \alpha_{i}$ le tre righe in cui compare. Si ottiene:

\begin{displaymath}\begin{cases}2 \alpha_{1} = \sqrt{- (\beta_{2} + \beta_{3})} ... ...+ \beta_{2})} + \sqrt{- (\beta_{1} + \beta_{3})}\\ \end{cases}\end{displaymath}    

next up previous contents
Next: Teoria di Galois delle Up: Le lezioni Previous: Casus Irreducibilis   Indice
A. Caranti
2000-05-31